РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Германский математик и логик Готтлоб Фреге (1848—1925) предпринял попытку свести арифметику к логике. С этой целью в первой собственной работе по математической логике «Исчисление понятий» («BegnfTsschrift») он обусловил огромное количество как объем понятия и таким макаром получил возможность найти и чи­сло через объем понятия. Такое определение числа он сфор РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ­мулировал в «Основаниях арифметики» («Grundlagen der Arithmetik»), книжке, которая в то время осталась незамеченной, но потом получила широкую известность. Тут Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия числятся равночисленными, если множе­ства, выражающие их объемы, можно поставить во взаимоодноз­начное соответствие вместе. Так, к примеру, понятие РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ «вер­шина треугольника» равночисленно понятию «сторона треуголь­ника», и каждому из их принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом понятия «вершина треугольника».

Если Лейбниц только наметил программку сведения математи­ки к логике, то Г. Фреге предпринял попытку сведения достаточно значимой части математики к логике, т. е. произвел некото­рую математизацию РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ логики22. Символические обозначения, при­нятые им, очень громоздки и потому не достаточно кто стопроцентно прочел его «Основные законы арифметики». Сам Фреге осо­бенно и не рассчитывал на то, что его произведение отыщет читателей. Все же труд Фреге сыграл значительную роль

в истории обоснования арифметики в первой половине XX в. В РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ этом произведении Фреге писал: «В моих «Основаниях арифме­тики» (1884) я пробовал привести аргументы в пользу того, что математика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ подтверждения. В этой книжке (идет речь об «Основных законах арифметики». — Л. Г.)это должно быть доказано РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ тем, что простые законы арифме­тики тут выводятся только при помощи логических средств» .

Итак, Фреге считал, что он логически обусловил число и точ­но перечислил логические правила, при помощи которых можно определять новые понятия и обосновывать аксиомы, и что таким макаром он и сделал математику частью логики. Фреге не РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ подо­зревал, но, что построенная им система не только лишь не пред­ставляла собой логического обоснования содержательной ариф­метики, но была даже противоречивой. Это противоречие в си­стеме Фреге нашел Бертран Рассел.

В послесловии к «Основным законам арифметики» Фреге писал по этому поводу: «Вряд ли есть чего-нибудть более РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ нежела­тельное для создателя научного произведения, чем обнаружение по окончании его работы, что одна из основ его строения оказывает­ся пошатнувшейся (опровергнутой: erschuttert). В такое положе­ние я попал, получив письмо от государя Бертрана Рассела, когда печатание этой книжки близилось к концу»2 . Противоречи­ем, которое нашел РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Рассел в системе Фреге, был известный феномен Рассела о огромном количестве всех обычных множеств (см. с. 193 -194).

Причину собственной беды Фреге лицезрел в использованном им предположении, что у всякого понятия есть объем в смысле неизменного, строго фиксированного огромного количества, не содержащего внутри себя никакой неопределенности либо расплывчатости. Ведь конкретно через этот РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ объем он и обусловил основное понятие арифметики: понятие числа.

Прямо за Г. Фреге еще одну попытку сведения арифметики к логике предпринял видный британский философ и логик Берт­ран Рассел (1872—1970). Он также создатель ряда работ из области истории, литературы, педагогики, эстетики, естествознания, со­циологии и др. Труды Рассела в области математической РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ логики оказали огромное воздействие на ее развитие. Совместно с английским логиком и математиком А. Уайтхедом25 Рассел разработал ори­гинальную систему символической логики в базовом трехтомном труде «Principia Mathematica»26. Выдвигая идею о сведении арифметики к логике, Рассел считает, что если гипо­теза относится не к одной либо нескольким РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ личным вещам, но к хоть какому предмету, то такие выводы составляют арифметику. Таким макаром, он определяет арифметику как доктрину, в кото­рой мы никогда не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, правильно ли то, что мы говорим. Рассел разделяет арифметику на чистую и прикладную. Незапятнанная математика, по его воззрению РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ, есть совокупа формальных вы­водов, независящих от какого бы то ни было содержания, т. е. это класс выражений, которые выражены только в те­рминах переменных и только логических констант. Рассел не только лишь полностью уверен в том, что ему удалось свести арифметику к такового рода предложениям, да и делает РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ из этого утверждения вывод о существовании априорного познания, считает, что «мате­матическое зание нуждается в посылках, которые не базиро­вались бы на данных чувства»27. Отсюда видно, что Рассел разрывает две взаимосвязанные ступени зания — чувствен­ную и рациональную. Он отбрасывает в арифметике первую ступень зания и перебегает сходу к абстрактному РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ мышлению, а это и есть априоризм, рвение показать, что математические правды — правды разума, никак не связанные с опытом, с чувст­венным восприятием мира.

От незапятанной арифметики Рассел отличает прикладную матема­тику, которая состоит в применении формальных выводов к ма­териальным данным.

Для того чтоб показать, что незапятнанная математика РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ сводится к логике, Рассел берет систему аксиом математики, сформулиро­ванную Пеано, и пробует их логически обосновать, а три неоп­ределяемых у Пеано понятия: «нуль», «число», «следующее за» — найти в определениях собственной логической системы. Все натуральные числа Рассел также считает вероятным выразить в определениях логики, а как следует, свести математику к логике РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. А потому что, по его воззрению, вся незапятнанная математика может быть сведена к математике, то и математика может быть сведена к логике. Рассел пишет: «Логика стала математической, матема­тика логической. Вследствие этого сейчас совсем невоз­можно провести границу меж ними. В сути это одно и то же. Они различаются РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ как мальчишка и мужик; логика — это молодость арифметики, а математика — это зрелость логики»28. Рассел считает, что не существует пт, где можно было бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую — математика.

Но в реальности математика несводима к логике. Пред­меты исследования этих РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ наук различны. Нами ранее были указаны соответствующие черты, присущие логике как науке (см. с. 114). У арифметики другие задачки и функции.

В большенном трехтомном труде «Principia Malhematica» есть две стороны. 1-ая — заставляющая созидать в нем один из главных истоков современной математической логики. Все, что связано с этой стороной РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Principia Mathematica, получило в даль­нейшем такое развитие в математической логике, которое сдела­ло эту новейшую область науки в особенности принципиальной для решения не только лишь труднейших задач теоретической арифметики и ее обоснования, да и целого ряда очень принципиальных для практики задач вычислительной арифметики и техники.

Другая сторона этого произведения — поточнее РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ, даже не самого этого произведения, а философских «обобщений», делаемых логицистами со ссылкой на него, — принадлежит уже к области попыток использовать его для «доказательства» положения, что математика-де сводится к логике. Эта самая сторона и относит­ся к области некорректных выводов. Конкретно ее и опровергает предстоящее развитие науки, которое нашло, что РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ эта попыт­ка Рассела не удалась. И это не случаем. Дело не в том, что Рассел в каком-то смысле не совершенно успешно выстроил свою систему. Дело в том, что и нельзя выстроить формальную «логи­ческую систему» с точно перечисленными и отлично выпол­нимыми правилами вывода, в РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ какой можно было бы фор­мализовать всю содержательную математику. Это обстоятельст­во представляет собой содержание известной аксиомы австрийс­кого математика и логика К. Гёделя о неполноте формализован­ной математики, из которой следует конкретно, что опре­деление математических понятий в определениях «логики» хотя и об­наруживает некие связи этих РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ понятий с логикой, но не лишает их все же специфично математического содержа­ния. Формализованная система имеет смысл только при наличии содержательной научной теории, классификации которой данная формализованная система должна служить.

Но Г. Фреге и Б. Рассел пришли в логическом анализе к ряду увлекательных результатов, относящихся к понятиям «пред­мет РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ», «имя», «значение», «смысл», «функция», «отношение» и др. Особо следует выделить значимость разработанной Расселом теории типов (обычной и разветвленной), цель которой заключается в том, чтоб посодействовать разрешить парадоксы в теории множеств. Рациональное зерно разветвленной теории типов Рассела заключается в том, что она является конструктивной теорией.

Неоднозначные ЛОГИКИ

Если в двузначной логике выражение РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ бывает настоящим либо неверным, то в неоднозначных логиках число значений истинности аргументов и функций может быть хоть каким конечным и даже нескончаемым. В реальном приложении отрицание обозначается через N x либо

конъюнкция — через Кху либо нестрогая дизъюнкция —через Аху либо вещественная импликация — через Сху либо Значения функции от аргумента а РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ будем записывать так: [д]. Тавтологией (либо общезначимой) именуется формула, которая при всех композициях значений входящих в нее переменных воспринимает значение «истина» (в большинстве случаев в рас­сматриваемых системах «истина» обозначается цифрой 1).

Развитие неоднозначных логик, по нашему воззрению, подтверждает идея, что правда всегда конкретна, также положение об относительном нраве конкретно-научных познаний РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ: то, что яв­ляется тождественно-истинным в одной логической системе, не оказывается тождественно-истинным в другой.

Трехзначная система Лукасевича29

Трехзначная пропозициональная логика была построена Я. Лукасевичем в 1920 г. В ней «истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «нейтрально» — 1/2 . В качестве главных функций взяты отрицание (обозначается Nx) и импликация (Сху); произ­водными РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ являются конъюнкция (Кху) и дизъюнкция (Аху). Тав­тология воспринимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются мат­рицами (табл. 13, 14) и равенствами так:

Таблица 13


х Nx
½ ½

Таблица 14

х / у 1/2
½ ½ ½

1) [Nx]=l-[x];2) [Сху] = 1, если ; 3) [Сху] = 1-[x]+[у], если [x]>[у], либо в общем виде: 4)[Сху]=min (1,1 — [x РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ]+[у]).

Конъюнкция определяется как минимум значений аргумен­тов: [Kxy]=min ([x], [у]); дизъюнкция — как максимум значений х и у: [Аху]= тах ([x], [у]).

На базе данных определений отрицания, конъюнкции и ди­зъюнкции в системе Лукасевича не будут тавтологиями (закона­ми логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ, также и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего. Потому логика Лукасевича не являет­ся отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтоло­гиями являются правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузнач­ной логики: и (т. е. если РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х).Это можно обосновать, взяв [х] = 1/2 и [у] = 1/2 .

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некие формулы, структурно выражающие правильные дедуктивные умозаключения классической логики, формализованные средст­вами алгебры логики, а конкретно modus tollens, обычная деструк­тивная проблема, также РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ формулы разделительно-категоричес­кого силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если откинуть значение 1/2, то в логике Лукасевича и в двузначной логике определения фу­нкций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но потому что в логике Лукасевича имеется третье значение истинности РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ — 1/2 , то не все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лука­севича.


razvitie-pamyati-detej-doshkolnogo-vozrasta.html
razvitie-pamyati-v-1012-let.html
razvitie-patentnoj-sistemi-nalogooblozheniya-v-g-novikov-doktor-sociologicheskih-nauk-gl-redaktor.html